莫比乌斯带
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轻松搞懂莫比乌斯带
剪一条长方形的纸带，让长度远大于宽度（这样比较好扭转纸带以便粘合成莫比乌斯带）。如下图所示。
如果把纸带短边AB与CD粘合在一起，那么，就形成一个柱面。注意，这里是把位于同一长边上的顶点（A与D；B与C）重合并粘合在一起。但如果我们不这样粘合，而是把CD扭转180度后再粘合，即把顶点A与顶点C对在一起，把顶点B与顶点D对在一起进行粘合，那么，这样形成的带子就是莫比乌斯带。如下图所示。
莫比乌斯带与柱面不同。柱面有两个侧面，被称做双侧曲面。柱面有两条边界。从柱面的一个侧面（不管是内侧面还是外侧面），如果不越过边界，都是不能到达另一个侧面的。柱面的两条边界都是封闭的曲线，自身不打结，两曲线也不互相缠绕或套在一起，各自独立。一条边界上的小虫不离开边界是爬不到另一条边界上的。
但是莫比乌斯带却很不同。一个小虫在侧面上爬行，可以爬到带子表面上的任何一个地方而不需要越过边界，甚至会神奇地爬到原来出发点的背面（从局部来看，一张纸的正面和背面是完全处于相反的地位）。同样，小虫在边界上爬行，也可以不离开边界而爬到边界的任何一处。这说明莫比乌斯带的边界是一条封闭的曲线。这个其实很好理解：我们准备两根一样长的绳子，并排，左手握住两根绳子的左端，右手握住两根绳子的右端，如果把它们拉直，这两根绳子就像一个加长了的等号“=”。然后，把第一根绳子的左端与第二根绳子的右端用手挰在一起，把第一根绳子的的右端与第二根绳子的左端挰在一起，这就相当于两根绳子首尾相接，那么就形成一条封闭的绳圈。我们还可以这样理解边界是一条封闭的曲线：在开始的那个长方形纸带的两条长边上各粘上一根细铁丝，然后照前面所说，做成莫比乌斯带，并把对接在一起的铁丝焊在一起（两处）。然后，用火把纸带烧掉，最后剩下的就是一条封闭的铁圈。
莫比乌斯带是一个单侧曲面。单侧曲面是不可定向的，而双侧曲面是可定向的。
好的，上面是莫比乌斯带的一些最基本的性质。下面我们对它进行一些有意思的操作，看一看会得到什么。
在做成莫比乌斯带之前，先在长方形纸带沿长边的方向上，画一条与两条边界平行并到两边界距离相等的直线（后面简称中线），在长方形纸带的两侧面都要画上。然后，做成莫比乌斯带。如下图所示。
用剪刀沿所画中线把莫比乌斯带剪开（应该是先在中线上用刀划开一条小缝，以便剪刀可以伸进去剪切），或者干脆就直接用刀片沿中线划开。且慢，我们若对柱面实施这种操作，那一定是把柱面剪开成两个高度为原来高度二分之一的小柱面。但我们对莫比乌斯带进行这样的剪切操作，结果会是什么呢？是把原莫比乌斯带变成两个窄一些的莫比乌斯带吗？
答案是否定的。我们可以想像一下。实际上，剪刀根本就没有剪到莫比乌斯带的边界，那么，原来作为封闭曲线的边界，仍然是封闭曲线，没有断开。那么，与边界相连的纸带也同样与它相连。于是就可以看出，剪开后不可能变成两个带子。沿中线剪开时，剪刀右侧与左侧各出现一个新边界，但由于剪切口（比如说右侧边界）隔着半个纸带宽与原带子的边界相望，距离总是半个带宽，所以，若一只小虫沿剪刀右侧新边界行走，有另一只小虫与这只小虫中间隔着半个带子，在原边界上陪伴着它同方向走，那么，这个右边界长度与原莫比乌斯带边界长度（原长方形长边长度的两倍）一样长，两只小虫一定都走了莫比乌斯带边界的长度。而中线的长度是一个长方形长边长度，剪开后新产生的边界是两个长方形长边长度。所以说，一共所有的边界的长度是两个莫比乌斯带边界的长度，所以，沿剪切口右侧边界走一定会走到左侧边界。也就是说，剪切出来的边界是一条长度为原长方形长边长度两倍的封闭曲线。最终可以得出结论，把莫比乌斯带从中线剪开后，所得是一个长度为原来莫比乌斯带长度的两倍、宽度为原来莫比乌斯带宽度的二分之一的一条带子。这个过程的前后，带子的表面积是不变的。如果原长方形长边长度为b，宽度为a，那么，由它扭转180度所得莫比乌斯带的表面积就是2ab。剪开后的带子的宽度为a/2，长度为2b，两面，所以，表面积为2(a/2)(2b)=2ab。相等，没有问题。那么，这个带子还是莫比乌斯带吗？显然它已经不再是莫比乌斯带了，因为它有两条各自封闭的边界线。并且，也有两个侧面，小虫不可能从一面不经过边界走到另一面。这个带子是双侧曲面（注意，这个带子不是柱面，虽然有此性质类似）。再想像一下，上面的两只小虫之间拉以一条染色线，两只小虫同向行走的时候，染色带把整个白色表面的一半染上颜色（下图中以彩色斜线表示）。请用眼睛视线沿着下图中彩色斜线走，比如从点A处开始向点C的反方向走，走到图左侧向下，从朝向我们比较近的这边出现，然后，又从图右侧走到远离我们的带子的背面下方，又走到离我们转近的这边带子内侧的上半部分，最终走到远离我们的带子的上半部分，到达C点的位置，回到A点的位置。永远走不到没有涂色的那半个宽度表面上。
下图是从中线剪开后的样子。
下面看一下若把原来长方形纸带沿带长方向画两条线，把纸带的宽度三等分，然后，粘合成莫比乌斯带。沿着三等分线把带子用剪刀剪开，那么，结果会是什么样子呢？
这个是不是不太好想像了。我们这样来想：假设在带子的中间三分之一宽度上涂有一层蜂蜜，有一只小虫喜欢偷吃蜂蜜，但它只会把蜂蜜连纸一同吃掉，那么，它最终把中间三分之一带宽的纸带吃掉。那么，这是不是与用剪刀把莫比乌斯带沿中线剪开是一个道理呢。 仔细想像一下，应该是的吧！那么，如果剪开前的莫比乌斯带的宽度为3a，那么剪掉中间三分之一带子后两边所剩带子形成的这个曲面的宽度就是a。这个带子与用2a宽度的莫比乌斯带从中线剪开后所得是完全一样的。
小虫吃掉中间带子只是一种非常有帮助的想像，但实际情况是，沿三等分线剪开带子，中间带子还在。这中间带子仍然是莫比乌斯带，是一个宽度为原宽度三分之一的莫比乌斯带。这个也很好理解，可以类似刚才小虫偷吃蜂蜜，但这回是小虫不喜欢吃蜂蜜而只喜欢吃纸（确有一种吃书的小虫叫蠹鱼，懂藏书的人可能都知道它吧），它把原莫比乌斯带两边各三分之一带宽的纸吃掉，那么，剩余的中间三分之一当然还是莫比乌斯带了。
通过小虫吃蜜和吃纸的形象描述，您是不是对莫比乌斯带的神奇之处有所感悟呢？
如下图所示，左边那个带子，是由一个宽度为2a的莫比乌斯带从中线剪切后的结果。下图右图是由一个宽度为3a的同长度莫比乌斯带沿三分之一宽度剪切后所得结果，可以看出一大一小两个环带套在一起。而套在一起的两个带子中较长的那个带子，与左边那个带子是完全一样的。它也在前面我们给予描述过（上上张图）。
从上图可以看出，沿三分之一线剪开后所得到的两倍长度的封闭的双侧双边界曲面与剪开后中间三分之一带子所形成的三分之一带宽的莫比乌斯带，两者是套在一起分不开的。为什么呢？请您自己思考一下。
顺便想到一个问题：商店珠宝柜台有一款待出售的珍贵项链被套在一个莫比乌斯带形状的硬纸板的中线上，为了防止被盗，与一圈项链一同安放了另外一圈隐蔽的报警线，所以，圈形项链一旦被非法打开或被强行剪断，都将触发报警器。为了更加安全，又在莫比乌斯带的边缘加装了钢丝并固定在柜台坚固的底座上。于是，这条珍贵项链的安保工作就万无一失了。这是为什么？ 有盗贼看到项链，知道在项链中有报警装置，也知道硬纸板边缘有坚硬的钢丝，于是，他就聪明地把项链连同硬纸一同剪下，但又不剪到边缘的纲丝。他想的很美，也在为他的聪明自鸣得意呢。但他真的能够取走项链呢？ 答案是：他取不走的。项链与钢丝（实则是钢丝圈）是套在一起的。他不懂数学，不懂拓扑学。
真是个神奇的莫比乌斯带！ 还有更加神奇的，请听下回分解。
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下期预告：莫比乌斯带与克莱茵瓶的关系。
