矩阵行列式
2021
04·12
序言
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程的数学分支。（来自百度百科）
我选择公众号主要内容是代数，主要是因为这方面我学得多，虽然微积分学得也挺多的但感觉拿不出手。数论我属实不喜欢，虽然之前做了素数定理，但我对它的感觉依旧不变。解析几何也属实不喜欢，感觉就是算数（可能我也看不懂）。微分几何和拓扑学现在还没看懂呢。复分析在看，但没有悟到其中的道理，所以就先不讲。微分方程学得不多，现在也没在看……总的来说，讲代数学是最好的选择。
01
矩阵的基本概念
我们有线性方程组：
（1）
当上式中所有的bi=0，则称上式为齐次方程组：
（2）
而上式对应的矩阵是：
（3）
称为m行n列矩阵，记为（aij）。当m=n时，则称矩阵是方阵。我们称
为矩阵（3）的第i行，而称
（以上是两种记法）为矩阵（3）的第j列。
对于方阵，我们称a11,a22,…,ann为方阵的主对角线。若除主对角线外，其它元素都等于0的方阵，叫对角矩阵，记为
当a11=a22=…=ann=a时，则称对角矩阵是纯量矩阵，记为
矩阵diagn(1)称为单位矩阵，记为
（以上是两种记法）
我们记（1）对应的矩阵是
这是矩阵（3）增添常数项的列[b1,b2,…,bn]得到的。
02
矩阵的初等变换
对于线性方程组（1），我们有以下两种初等变换，初等变换保证方程组的解不变。
(I)型初等变换：将第i行和第j行进行交换。
(II)型初等变换：将第i行加上第j行的k倍，得
我们通过上述两个初等变换得到以下形式的方程组。（1）可变为
其中，每一行的第一个系数不等于0。（1）也可能变为
我们称以上方程组是阶梯形的或梯形的。任意线性方程组都可以用初等变换化成阶梯形方程组。
03
行列式的基本概念
每一个矩阵对应一个行列式，我们先讨论2×2的矩阵的情况。矩阵
对应的行列式是表达式a11*a22-a21*a12，记为
于是我们可以得到
有二元一次方程组
则其解可以写成
易知当
方程组无解。
对于n阶行列式（即n×n的矩阵对应的行列式），其表达式是
（4）
其中σ1,σ2,…,σn是序列1,2,…,n的一种调换，k是调换次数，两个数互相换位置算调换1次。其实还有一种求法，
将上图中同种颜色的数相乘再相加，和记为A，
将上图中同种颜色的数相乘再相加，和记为B，则行列式（4）= A – B，这和（4）计算结果一样。
这一期就先到这，拖得时间挺长的，以后不再了。下一期：“代数学2：集合与映射”
